Цели:

1. Знакомство с формулой Бернулли, локальной и интегральной теоремами Лапласа.
2. Формирование представлений об области применения каждой из формул.

План:

1. Формула Якова Бернулли.
2. Локальная теорема Лапласа.

1. Формула Якова Бернулли.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти или не произойти. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же и равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q =1-p .

Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно k раз. (не требуется, чтобы событие А повторилось k раз в определенной последовательности). Искомую вероятность обозначим P n,k . Поставленную задачу можно решить с помощью формулы Бернулли.

Найдем вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится k раз и n - k раз не появится. Используя теоремы сложения и умножения, имеем:

Можно доказать, что число слагаемых S будет равно числу сочетаний из n элементов по k . Тогда:

Теорема (Формула Бернулли): Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых случайное событие А появляется с одной и той же вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится k раз вычисляется по формуле:

Пример: Монету подбросили 10 раз. Найдите вероятность того, что «герб» выпадет ровно 8 раз.

Решение: Вероятность появления герба в одном испытании (р) равна 1/2. Тогда q = 1/2- вероятность невыпадения герба. По формуле Бернулли имеем:

Пример: Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из пяти ламп не менее трех останутся исправными после 1000 часов работы.

Решение:

2. Локальная теорема Лапласа.

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, т.к. формула требует выполнения действий над громадными числами.

Локальная теорема Лапласа позволяет приближенно найти вероятность появления события А ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Для частного случая (р= 1/2) эта формула была найдена в 1730 году Абрахамом де Муавром. В 1783 году Пьер-Симон Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного значения р, отличного от 0 и 1. Поэтому, теорему часто называют теоремой Муавра- Лапласа.

Теорема (Локальная теорема Лапласа): Пусть производится n независимых испытаний, вероятность появления события А в каждом из них постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что событие А появится k раз приближенно равна:

Чем больше значение n , тем точнее результат дает данная формула.

Значенияфункции для вычисляются с помощью специальных таблиц значений функции. При х>4 принято считать . Для вычисления значений от отрицательного аргумента пользуются свойством четности данной функции: .

Пример: Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найдите вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень ровно 8 раз.

Решение: n =100; p =0,75; q =0,25; k =8.

Пример: Найдите вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность наступления его в одном испытании равна 0,2.

Решение: n =400; k =80; p =0,2; q =0,8.

3. Интегральная теорема Лапласа.

Теорема (Интегральная теорема Лапласа): Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появится с одной и той же вероятностью р. Тогда, вероятность того, что событие А появится от k 1 до k 2 раз, приближенно равна: , где - функция Лапласа.

Значения функции Ф(х) для вычисляются с помощью специальных таблиц значений функции. При х>5 принято считатьФ (x)=0.5. Для вычисления значений Ф(x) от отрицательного аргумента пользуются свойством нечетности данной функции: Ф(- x)= - Ф(x) .

Пример: Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найдите вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенными от 70 до 100.

Решение: p =0,2; q =0,8; n =400; k 1 = 70; k 2 = 100

Пример: Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найдите вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 раз и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

Решение: n =100; p =0,75; q =0,25.

а) k 1 = 70; k 2 = 800.

б) k 1 = 0; k 2 = 70.

Примеры для самостоятельного решения:

1. При высаживании непикированной рассады помидоров только 80 % растений приживается. Найдите вероятность того, что из 100 посаженных кустов приживется не менее 98.

Теория вероятностей.

Задачи на «Стрельбу».

№ 1. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым либо вторым выстрелом).

Решение. Первый способ.

Пусть A - событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B - событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события A равна P (A ) = P 1 (A ) = 0,8. Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся P 1 () =1 – 0,8 = 0,2, а, стреляя второй раз, попал P 2 (A ) = 0,8. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P (B ) = P 1 () ∙ P 2 (A ) = 0,2·0,8 = 0,16. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B ) = P (A ) + P (B ) = 0,8 + 0,16 = 0,96.

Ответ : 0,96.

Второй способ. Пусть A при одном выстреле , B - событие, состоящее в том, что мишень поражена (либо первым либо вторым выстрелом).

Так как вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,8, то есть P ( A ) = 0,8, то вероятность того, что, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, равна P 1 () = 1 - 0,8 = 0,2. Вероятность того, что, стреляя второй раз, стрелок промахнулся, равна P 2 () = 1 - 0,8 = 0,2. Вероятность того, что, стрелок промахнулся оба раза, равна P 1 () ∙ P 2 () = 0,2∙0,2 = 0,04. Вероятность противоположного события (хотя бы один раз не промахнется) равна P ( B )= 1 – 0,04 = 0,96.

Ответ : 0,96.

№ 2. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первый раз попал

в мишень, а последние 3 раза промахнулся.

Решение. Пусть A - событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком при одном выстреле , B

Так как вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7, то вероятность попадания при первом выстреле равна P 1 ( A ) = 0,7, тогда вероятность того, что, стреляя второй раз, стрелок промахнулся, равна P 2 () = 1 - 0,7 = 0,3. Вероятность того, что, стреляя третий раз, стрелок промахнулся, равна P 3 () = 1 - 0,8 = 0,2. Вероятность того, что, стреляя четвертый раз, стрелок промахнулся, равна P 3 () = 1 - 0,8 = 0,2. Все события независимы. Вероятность того, что стрелок первый раз попал в мишень, а последние

3 раза промахнулся. P ( B )= P 1 ( A )∙ P 2 ()∙ P 3 ()∙ P 4 () = 0,7∙0,3∙0,3∙0.3 = 0,0189

Ответ : 0,0189.

№ 3. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7 , а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Решение. Пусть A 1 A 2 С - попал только один из стрелков, то есть (первый попадет и второй промажет) либо (первый промажет и второй попадет).

1
р ()=1-р(А 1 )=1- 0,7 = 0,3.

2
р ()=1-р(А 2 )=1 - 0,8 = 0,2.
р (С) = р(А 1 )∙р () + р(А 2 )∙р () = 0,7∙0,2 + 0,8∙0,3 = 0,38

Ответ.0,38.

№ 4. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.

Решение.

Пусть A 1 - событие, состоящее в том, что мишень поражена первым стрелком, A 2 - событие, состоящее в том, что мишень поражена вторым стрелком. A 3 С - событие, состоящее в том, что в мишень попали только двое из трех из стрелков,

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р (А 1 )=0,8, вероятность его промаха
р ()=1-р(А 1 )=1- 0,8 = 0,2.

Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р (А 2 )=0,7, вероятность его промаха
р ()=1-р(А 2 )=1 – 0,7 = 0,3.

3
р ()=1-р(А 2 )=1 – 0,6 = 0,4.

Чтобы вычислить вероятность (двое из трех попали), надо вычислить вероятности, когда:
1. Промахнулся только первый стрелок, а второй и третий попали.
2. Промахнулся только второй стрелок, а первый и третий попали.
3. Промахнулся только третий стрелок, а первый и второй попали.
Вероятность того, что промахнулся только первый стрелок, а второй и третий попали: P 1 = р ()∙ р (А 2 )∙ р (А 3 )= 0,2∙0,7∙0,6 = 0,084.
Вероятность того, что промахнулся только второй стрелок, а первый и третий попали P 2 = р (А 1 ) ∙ р () р (А 3 )= 0,8∙0,3∙0,6 = 0,144.
Вероятность того, что промахнулся только третий стрелок, а первый и второй попали P 3 = р (А 1 ) ∙ р (А 2 ) ∙ р () = 0,8∙0,7∙0,4 = 0,224.
Отсюда вероятность (2 из 3 попали) р (С) = P 1 + P 2 + P 3 = 0,084+0,144+0,224 = 0,452
Ответ: 0,452

№5. Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал

Решение. Пусть A - событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком при одном выстреле , B - событие, состоящее в том, что мишень поражена.

Так как вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,8, то вероятность попадания при первом выстреле равна P 1 ( A ) = 0,8, вероятность попадания при втором выстреле равна P 2 ( A ) = 0,8, вероятность того, что, стреляя третий раз, стрелок промахнулся, равна P 3 () = 1 - 0,8 = 0,2.

Все события независимы. Вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

P ( B )= P 1 ( A )∙ P 2 (А)∙ P 3 () = 0,8∙0,8∙0,2 = 0,128

Ответ : 0,128

№ 6. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,8. Какова вероятность, что он попал в мишень 4 раза и один промахнулся?

Решение .

Промахнуться он мог первым, вторым, ..пятым выстрелом.
ХОООО; ОХООО; ООХОО; ОООХО; ООООХ.
Вероятность каждого исхода равна 0,8 4 ∙ 0,2 .
Суммируем вероятности: p = 5∙(0,8 4 ∙ 0,2) = 0,8 4 = 0,4096.
Ответ.0,4096.

№ 7. Три стрелка стреляют в цель. Вероятность попадания в цель для первого, второго и третьего стрелка соответственно равна 0,6; 0,7 и 0,75; Определить вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение .

Пусть A 1 - событие, состоящее в том, что мишень поражена первым стрелком, A 2 - событие, состоящее в том, что мишень поражена вторым стрелком. A 3 - событие, состоящее в том, что мишень поражена третьим стрелком. С - событие, состоящее в том, что в мишень попали хотя бы один раз.

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р (А 1 )=0,6, вероятность его промаха
р ()=1-р(А 1 )=1- 0,6 = 0,4.

Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р (А 2 )=0,7, вероятность его промаха
р ()=1-р(А 2 )=1 – 0,7 = 0,3.

Вероятность попадания в мишень третьим стрелком р (А 3 )=0,75, вероятность его промаха
р ()=1-р(А 2 )=1 – 0,75= 0,25.

Посчитаем вероятность события: никто не попал (то есть все промазали):

Р= р ()∙ р ()∙ р ()= 0,4∙0,3∙0,25= 0,03.
Вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу р (С) = 1 – Р = 1 – 0,03 = 0,97.

Ответ.0,97.

№ 8. Три стрелка один за другим стреляют в цель. Вероятность попадания первого - 0,8. Второго - 0,75. Третьего 0,7.
Какова вероятность того, что попадут все три стрелка?

Решение.

Пусть A 1 - событие, состоящее в том, что цель поражена первым стрелком, A 2 - событие, состоящее в том, что цель поражена вторым стрелком. A 3 - событие, состоящее в том, что цель поражена третьим стрелком. С - событие, состоящее в том, что в цель попали все три стрелка.

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р (А 1 )=0,8. Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р (А 2 )=0,75. Вероятность попадания в мишень третьим стрелком р (А 3 )=0,7.

Вероятность того, что в цель попали все три стрелка:

р (С) = р (А 1 )∙ р (А 1 )∙ р (А 1 )=0,8∙0,75∙0,7= 0,42

Ответ. 0,42.

№ 9. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет

из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение.1 способ.

Пусть A 1 - событие, состоящее в том, что ковбой берет пристрелянный револьвер, A 2 В 1 В 2 - событие, состоящее в том, что ковбой попадает в муху из не пристрелянного револьвера. С - событие, состоящее в том, что Джон не промахнётся .

Вероятность того, что ковбой схватит пристрелянный револьвер р (А 1) = 0,4. Вероятность того, что ковбой попадает в муху из пристрелянного револьвера р (В 1) = 0,9. Вероятность того, что попадется пристрелянный револьвер и Джон попадет, равна Р 1 = р (А 1)∙ р (В 1) = 0,4∙0,9 = 0,36.

Вероятность того, что ковбой схватит не пристрелянный револьвер р (А 2) = 0,6. Вероятность того, что ковбой попадает в муху из не пристрелянного револьвера р (В 2) = 0,2. Вероятность того, что попадется не пристрелянный револьвер и Джон попадет, равна Р 1 = р (А 2)∙ р (В 2) = 0,6∙0,2 = 0,12.

Вероятность того, что Джон не промахнётся р(С) = Р 1 + Р 2 = 0,36 +0,12 = 0,48.

Вероятность противоположного события Джон промахнётся р()= 1 - р(С) = 1 - 0,48 = 0.52.

Ответ. 0,52.

2 способ.

Пусть A 1 - событие, состоящее в том, что ковбой берет пристрелянный револьвер. A 2 - событие, состоящее в том, что ковбой берет не пристрелянный револьвер. В 1 - событие, состоящее в том, что ковбой попадает в муху из пристрелянного револьвера. В 2 - событие, состоящее в том, что ковбой попадает в муху из не пристрелянного револьвера. - событие, состоящее в том, что ковбой промахнется из пристрелянного револьвера. - событие, состоящее в том, что ковбой промахнется из не пристрелянного револьвера. С - событие, состоящее в том, что Джон промахнётся .

Вероятность того, что ковбой схватит пристрелянный револьвер р (А 1) = 0,4. Вероятность того, что ковбой попадает в муху из пристрелянного револьвера р (В 1) = 0,9, вероятность промаха Р() = 1 - р (В 1) = 1 - 0,9 = 0,1.Вероятность того, что попадется пристрелянный револьвер и Джон промахнется, равна Р 1 = р (А 1)∙ р () = 0,4∙0,1 = 0,04.

Вероятность того, что ковбой схватит не пристрелянный револьвер р (А 2) = 0,6. Вероятность того, что ковбой попадает в муху из не пристрелянного револьвера р (В 2) = 0,2, вероятность промаха Р() = 1 - р (В 1) = 1 - 0,2 = 0,8.Вероятность того, что попадется не пристрелянный револьвер и Джон промахнется, равна Р 2 = р (А 2) ∙ р () = 0,6∙0,8= 0,48.

Вероятность того, что Джон промахнётся р(С) = Р 1 + Р 2 = 0,04 +0,48 = 0,52.

Ответ. 0,52.

№10. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем - 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение. Переформулируем вопрос задачи:

Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность промаха была бы меньше 1 -0,98 = 0,02?

При первом выстреле вероятность промаха 1- 0,4 = 0,6.

При каждом последующем выстреле вероятность промаха 1 - 0,6 = 0,4.

При двух выстрелах вероятность промаха 0,6∙0,4 = 0,24 (первый выстрел – промах и второй выстрел – промах).

При трех выстрелах вероятность промаха

0,6∙0,4∙0,4 = 0,096

При четырех выстрелах вероятность промаха

0,6∙0,4∙0,4 ∙0,4= 0,0384

При пяти выстрелах вероятность промаха

0,6∙0,4∙0,4 ∙0,4∙0,4 = 0,01536

Замечаем, что 0,015360,2

Итак, пяти выстрелов достаточно, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98.

Ответ: 5.

№11. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,6, а при каждом последующем - 0,8. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,95?

Сколько бы не было сделано выстрелов, все эти события (каждый отдельный выстрел) будут независимыми. При совершении независимых событий (в данном случае группы выстрелов) одновременно вероятность такого события будет равна произведению вероятностей этих независимых событий.

Вероятность поразить цель при первом выстреле равна 0,6.

Значит, вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,4.

Вероятность поразить цель при каждом последующем выстреле (втором ит.д.) равна 0,8.

Значит, вероятность промаха при каждом последующем выстреле равна 0,2.

Необходимо поставить вопрос: каким образом может быть поражена цель?

Цель может быть поражена либо при первом выстреле, либо вторым выстрелом, либо третьим, либо четвёртым, либо пятым выстрелом и т.д. …

Все перечисленные события независимые. Найдём их вероятности.

При первом:

Вероятность поражения равна 0,6.

При втором:

Вероятность поражения равна 0,4 ∙ 0,8 = 0,32 (мимо -попал).

То есть, вероятность поражения цели не более, чем двумя выстрелами равна 0,6 + 0,32 = 0,92 < 0,95

При третьем:

Вероятность поражения равна 0,4 ∙ 0,2 ∙ 0,8 = 0,064 (мимо –мимо -попал).

То есть, вероятность поражения цели не более, чем тремя выстрелами равна 0,6 + 0,32 + 0,064 = 0,984 > 0,95

Таким образом, необходимо сделать три выстрела, чтобы мишень была поражена с вероятностью не менее 0,95.

Ответ: 3

№ 12. Вероятность попасть в мишень равна 0,6. Произведено три выстрела. Какова вероятность, что мишень была поражена не менее двух раз?

Решение:

Вероятность того, что все три выстрела попадут в цель, равна P 1 =0,6 3 =0,216.

Вероятность того, что мишень будет поражена два раза, равна P 2 =3 ∙ (0,4 ∙ 0,6 ∙ 0,6)=3 ∙ 0,144=0,432. Здесь умножили на 3, потому что возможны три варианта (попал - не попал -попал, попал – попал - не попал и не попал-попал-попал). Тогда искомая вероятность равна P=P1+P 2 =0,216 +0,432 = 0,648.

Ответ 0.648.

Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна . Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение задачи

В данном уроке показывается решение задачи с применением теоремы умножения вероятностей, которой можно с успехом воспользоваться для подготовки к ЕГЭ по математике.

Согласно теореме умножения вероятностей: вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место. Таким образом, чтобы определить вероятность того, что мишень будет поражена первым или вторым выстрелом, определяется противоположное событие — вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу. При этом учитывается, что . Вероятность равна произведению вероятностей того, что стрелок промахнется и в первый, и во второй раз. Таким образом, искомая вероятность определяется как разность .